判断推理-数学运算
数学运算
一、数学运算的解题技巧概要
第九十三卷：代入排除法
代入排除法：将选项中数值代入到题干中进行验证，符合题干信息即正确选项，不符合
即为错误选项的一种方法。
【母题训练】
某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发现多出99人，于是又将每行和每列多加了4 人进行排列，发现缺少37 人。问学校共有运动员多少人？
A.256 B.289 C.324 D.361
【解析】由于第一次成方阵之后多99 个人，故总人数-99=平方数，此时可将选项中的总人数依次代入验证：
A 项，256-99=157 不是个平方数，排除；B 项，289-99=190 不是平方数，排除；C 项，324-99=225=15²，符合题意；D 项，361-99=262 不是平方数，排除。故答案为C。
第九十四卷：数字特性法
数字特性法：一种通过数字之间的倍数关系、奇偶性质、尾数判断这几种方法来加速解题或秒杀破题的一种方法。
常用的三类题：母题系列、不定方程类、总量为“n 多”类
【母题训练】
甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的三分之一，丙带的钱是另外三个人的四分之一，丁带了91 元，他们一共带了____元。
A.364 B.380 C.420 D.495
【解析】由于甲带的钱是另外三个人总和的一半，那么乙+丙+丁=2 甲，四人钱数之和=3甲，即总钱数是3 的倍数，排除AB；由于乙的钱是另外三个人总和的三分之一，那么甲+丙+丁=3 乙，四人钱数之和=4 乙，即总钱数是4 的倍数，排除D；故答案为C。
第九十五卷：比例法
比例法：根据两个或多个数值之间的比例关系，与题干给定的具体值，来推算各项数值的比例关系或者具体数值大小。
【母题训练】
三个游泳运动员一起练习，当甲游1 圈时，乙正好超过甲半圈，丙超过甲1/4 圈，按此速度三人共游了15 圈。问丙游了多少圈？
A.7 圈 B.6 圈C.5 圈 D.4 圈
【解析】由于当甲游1 圈时，乙游了1.5 圈，丙游了1.25 圈，根据路程=时间×速度，当时间相同时，速度之比等于路程之比，可得三者速度比为：甲：乙：丙=1：1.5：1.25=4：6：5。当三人共游了15 圈时，根据时间相同，路程之比等于速度之比，则丙游的路程在4+6+5=15 份中占5 份，因此丙游了15×5/15=5 圈。故本题答案为C。
第九十六卷：赋值法
赋值法：为了方便计算，将题干中未知的数值，根据比值或倍数关系，赋上具体的数值来加速计算的一种方法，使用前提是“所赋数值的大小不影响实际结果”。
【母题训练】
高架桥12：00～14：00 每分钟车流量比9：00～11：00 少20%，9：00～11：00.12：00～14：00.17：00～19：00 三个时间段的平均每分钟车流量比9：00～11：00 多10%。问17：00～19：00 每分钟的车流量比9：00～11：00 多：
A.20% B.30% C.40% D.50%
【解析】观察题干，均是倍数关系，无具体数值，考虑使用赋值法。
由于12：00～14：00 每分钟车流量比9：00～11：00 少20%，则赋值9：00～11：00每分钟车流量为10，12：00～14：00 每分钟车流量为10×（1-20%）=8；由于9：00～11：00.12：00～14：00.17：00～19：00 三个时间段的平均每分钟车流量比9：00～11：00 多10%，则三个时间段的平均车流量为10×（1+10%）=11，所以17：00～19：00 每分钟车流量为11×3-10-8=15，那么17：00～19：00 每分钟的车流量比9：00～11：00多（15-10）/10=50%，故本题答案为D。
第九十七卷：十字交叉法
十字交叉法：指根据题意得到“A×a+B×b=(A+B)×c”此样式的列式后，求解某个值时吗，可用如下图（常称为“十字交叉”）的思路快速列式计算。
适用的常见模型：平均数、浓度问题、经济利润、增量类等
【母题训练】
将1 千克浓度为X 的酒精，与2 千克浓度为20%的酒精混合后，浓度变为0.6X。则X 的值为：
A.50% B.48% C.45% D.40%
【解析】由于浓度为X 的酒精与浓度为20%的酒精混合之后，得到混合溶液的浓度为0.6X，根据十字交叉法：
，故（0.6X-20%）：（X-0.6X）=1：2，解得X=50%，故本题答案为A。
第九十八卷：盈亏思维
盈亏问题
把一定数量的物体分给若干个对象，按某种标准分，结果刚好分完，或多余(盈)，或不足(亏)，再按另一种标准分，又出现分完、多余或不足的结果，根据每次的结果来求物体以及分配对象的数量的问题，就称为盈亏问题。
如：将N 个物体分给m 个组，按每组a 个进行分配，多了x 个（即盈）；按每组b个分配，少了y 个（即亏）。其中，b 大于a。
思路1：列方程解题
根据“按每组a 个进行分配，多了x 个”可得：N=ma+x ①；根据“按每组b 个分配，少了y 个”可得：N=mb-y ②，①②式合并可得：ma+x=mb-y，解得，m=（x+y）/（b-a）。
思路2：盈亏思维
组数m=总量差/单位差=（x+y）/（b-a）
原理分析：
总量差，即：“m 组，每组b 个”的总量-“m 组，每组a 个”的总量，等于mb-ma。单位差，即b-a。
那么，总量差/单位差=（mb-ma）/（b-a）=m。
其中mb-ma=x+y，所以，m=（x+y）/（b-a）。
盈亏问题的3 种类型：
盈亏型：总量差=盈+亏
盈盈型：总量差=大盈-小盈
亏亏型：总量差=大亏-小亏
【母题训练】
某学校组织学生外出学农。如果每间宿舍住6 名学生，就会缺7 张床位，如果每间宿舍住8 名学生，就会空出3 张床位，则这批学生一共有（ ）人。
A.50 B.45 C.43 D.37
【解析】由于每间宿舍住6 人，就会缺7 张床位，即多7 人；每间宿舍住8 人，就会空出3 张床位，即少3 人；故总量差为7+3=10 人，单位差，即每间宿舍人数差为8-6=2人，故宿舍数量为10/2=5 间，因此这批学生总共有5×6+7=37 人，故答案为D。
二、数学运算高频考点概要
数学运算的常规考点包括高频和低频两类。高频考点，属于近5 年国、省考基本每年都有考查的知识点，主要包括：基本计算、工程、行程、经济利润、最值、几何、排列组合、概率问题这八大考点。低频考点，为近5 年国、省考偶考的知识点，主要有：容斥原理、周期日期、鸡兔同笼、植树问题等。
第九十九卷：基本计算问题
一、基本计算问题
根据题意，进行基本的加减乘除类的运算，或通过列方程直接解题的题目都可以看做是基本计算问题。而涉及常用的基本公式或解题思路的，则再统一归类为某类考点，比如工程问题、行程问题等。
二、不定方程题
不定方程：主要指“未知数个数”大于“方程个数”的题。比如根据题意可得2 个方程，但其中却存在3 个未知数，则为不定方程题。
不定方程的计算思维：数字特性中的倍数特性、奇偶性、尾数特性等。
三、等差、等比类题
等差数列的基本公式：
第n 项：$a_n$ = $a_1$ + (n− 1) × d (d为公差）
n 项的和：Sn = 中位数× 项数= $\frac{a_1+a_n}{2}$ × n = $a_1$ × n + $\frac{n×(n−1)}{2}$× d
等比数列的基本公式：
第n 项：$a_n$ = $a_1$ ×$q^(n-1)$（q 为公比）
n 项的和：Sn = $\frac{a_1×(1-q^n)}{1-q}$
【母题训练】
某方舱医院配有1000 张床位，现已接收新冠确诊患者200 名，并按床护比（护士数与床位数的比值）0.6：1 配齐了护士人员。因疫情发展迅速，该医院又收治了700 名患者，此时床护比下调为0.2：1，那么还需增加护士：
A.80 人B.60 人C.40 人D.20 人
【解析】由于最初接收患者200 名，床护比为0.6：1，根据一个床位一名患者，故护士数：患者数=0.6：1，所以医院有护士200×0.6=120 名。增加了700 名患者后，患者有200+700=900 人，床护比下调为0.2：1，此时需要护士900×0.2=180 人，则还需增加护士180-120=60 人，故本题答案为B。
第一百卷：经济利润问题
一、基础公式
二、分段计费型题
第①步：分段计算各阶段费用
第②步：汇总求和
【母题训练】
某市针对虚假促销的专项检查中，发现某商场将一套茶具加价4 成再以8 折出售，实际售价比原价还高24 元，问这套茶具的原价是多少元？
A.100 B.150 C.200 D.250
【解析】设茶具原价为x 元，加价4 成后的价格为x×(1+40%)=1.4x，再打8 折后的售价1.4x×0.8=1.12x 元，实际售价比原价高24 元，即：1.12x-x=24，解得：x=200元，故答案为C。
第一百零一卷：工程问题
一、基本公式：
工作总量=工作效率×工作时间
总量相同，效率和时间呈反比；
时间(效率)相同，总量和效率(时间)呈正比；
二、工程问题的3 种类型
1、完工时间型
①赋值总量为几个完工时间的公倍数②分别计算效率③计算其他常考出题类型：同时合作、先后合作、中途退出、提前/延期、交替合作型等
2、效率比型
①按照比例赋值效率②计算总量③计算其他
3、具体值型
①根据题意设未知数②找等量关系列方程
注意：题干中存在多个相同主体时，可考虑赋值其效率为1
【母题训练】
一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50 天和80 天。若甲、乙工程队合作20 天
后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12 天完成，则丙工程队单独完成此项工程所需的时间是（ ）。
A.40 天 B.45 天 C.50 天 D.60 天
【解析】由于甲、乙单独完成分别需要50 天和80 天，故赋值工程总量为50 和80 的公倍数400，则甲的效率为400/50=8，乙的效率为400/80=5。甲、乙合作20 天后，剩余的工程量为400-20×（8+5）=140，乙、丙合作12 天能完成剩余工作量，故乙、丙的效率之和为140/12=35/3，丙的效率为35/3-5=20/3。若由丙单独完成整项工程，需要的时间为400÷20/3=60 天，故答案为D。
第一百零二卷：行程问题
1.基本公式
【母题训练】
老李每天早晨9 点准时出门散步锻炼身体。他以3 千米每小时的速度步行6 千米，其中每走20 分钟休息5 分钟。那么老李锻炼到（ ）回家。
A.11 点20 分B.11 点25 分C.11 点30 分D.11 点45 分
【解析】由于老李每走20 分钟休息5 分钟，且每20 分钟走的路程为：3×20/60=1 千米，故老李步行6 公里需要的时间为20×6/1=120 分钟，中间需要休息5 次，休息花费的时间为：5×5=25 分钟，因此所需要的总时间为120+25=145 分钟=2 小时25 分钟，即老李
锻炼到11 点25 分回家，故本题答案为B。
第一百零三卷：排列组合问题
一、基本概念
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
二、基本公式
三、两个原理
①分类原理：分类考虑用加法，各个类别的情况数相加等于总情况数
常见关键词：要么…要么；至少…；至多…；等
②分步原理：分步用乘法，每步的情况数相乘等于总情况数
常见关键词：先…后… ；既…又…；且；以及；和；等
③分类和分步共存：分类中某类需要分步考虑；分步中某步需要分类考虑
【母题训练】
随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母O、I 不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为：
A.397440辆 B.402400辆 C.552000辆 D.576000辆
【解析】本题求各种排列的情况总数，属于排列组合问题。一共5 位，其中前三位和数字相关，后两位和字母相关，考虑分步处理。先安排前三位，每位都可以是0-9 共10 个数字中任一个， 因此各有C(10,1)种选法，前三位排法有C(10,1)×C(10,1)× C(10,1)=1000 种；再安排后两位，英文字母共26 个，字母O、I 不参与组牌，剩24 个， 由于这两个字母不重复，所以等于从24 个字母中选出2 个字母且要考虑顺序的情况数， 等于A(24,2)=24×23=552 种。分步用乘法，因此可以给该地区汽车上牌照的数量为1000 ×552=552000 辆。故答案为C。
第一百零四卷：概率问题
一、基本概念
概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。设对某一随机现象进行了n 次试验与观察，其中A 事件出现了m 次，即其出现的频率为m/n。经过大量反
复试验，m/n 越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A 出现的概率，常用P(A)表示。
二、基本公式
三、常见考法
·求概率、分类概率、分步概率、排列组合+概率
·反面求解：某事件发生的概率=1-该事件不发生的概率
·独立重复试验
【母题训练】
一个纸箱里装有大小及材质完全相同的10 个小球，其中3 个黑色，2 个白色，1 个红色，
2 个黄色，1 个绿色，1 个紫色。如果不放回地依次随机取出3 个小球，则取出的小球依
次是黑色、红色、白色的概率为：
A. 1/120 B. 1/240 C.1/250 D.3/500
【解析】概率=取出的小球依次是黑色、红色、白色的情况数/不放回地依次随机取出3个小球的情况数。不放回地依次随机取出3 个小球，第一步是从10 个小球中随机选1 个，有C(10,1)=10 种选法；第二步从剩下的9 个小球中随机选1 个，有C(9,1)=9 种选法；第三步从剩下的8 个小球中随机选1 个，有C(8,1)=8 种选法；分步用乘法，共有10×9×8 种。取出的小球依次是黑色、红色、白色的情况数，分步考虑，分别从3 个黑球、1 个红球、2 个白球中取1 个，可得情况=C(3,1)×C(1,1)×C(2,1)=3×1×2。所求概率=（3×1×2）/（10×9×8）=1/120。故答案为A。
第一百零五卷：最值问题
最值思维：就是“极端思维”，根据题意分析最极端的情况，可能是最优情况，也可能是最不利的情况。
运用最值思维的两类题：
最不利构造题：
题干特征：至少……保证……（求最大或最小值）
解题思路：最不利情况+1
构造数列题：
题干特征：已知总值和几个元素间关系，求最大或最小值
常见类型：多个元素的值各不相同、多个相同等
解题思路：①设未知数，构造数列；②列式计算：加和=总值
【母题训练】
已知某宾馆共有30 个房间，一名清洁工拿着30 把钥匙，他只知道一把钥匙开一把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，现在她要打扫每一间房子，需要将钥匙和房间一一匹配，她最多要试多少次？
A.365 B.385 C.435 D.465
【解析】由于总共有30 个房间，所有钥匙都是打乱的，则第1 把钥匙最多要试29 次（第29 个房间也打不开，则一定是第30 个房间），第2 把钥匙要从剩余29 个房间试，最多试28 次，同理可得：第3 把钥匙最多要试27 次、第四把钥匙最多要试26 次…第29把钥匙要试1 次，第30 把只剩最后一个房间，不用试。
故所试的次数刚好为公差为1 的等差数列，根据等差数列求和公式：Sn=（a1+an）×n/2，故清洁工最多要试29+28+27+…+3+2+1=（1+29）×29/2=435 次。故本题答案为C。
第一百零六卷：几何问题
一、基本公式
【母题训练】
部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北30° 100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$ B. $\frac{4\sqrt{5}}{3}$ C. $\sqrt{3}$ + 1 D.3($\sqrt{3}$ − 1)
【解析】如图所示，前哨站(O 点)在A 点发现可疑无人机，可疑无人机从A 点向西飞行（即AB 方向），我方无人机从C 点向北飞行并最终在B 点与可疑无人机相遇，那么可疑无人机行驶的路程为AB，我方无人机行驶的路程为BC。在Rt△ABO 中，∠A=30°，OA=100 千米，可得：OB=AO×(1/2)=50，AB= $\sqrt{3}$·OB=50$\sqrt{3}$ ，而BC=BO+OC=50+150=200。时间相同，路程之比等于速度之比，则我方无人机的速度为可疑无人机的$\frac{200\sqrt{50}}{3}$= $\frac{4\sqrt{3}}{3}$倍，故答案为B。
第一百零七卷：容斥原理
一、基本公式
1.二集合
A∪B=A+B-A∩B
A∪B=只满足一个条件的+同时满足两个条件的
A∪B=总数-两个条件都不满足的
2.三集合
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
A∪B∪C=只满足一个条件的+只同时满足两个条件的+同时满足三个条件的
A∪B∪C=满足一个条件的-只同时满足两个条件的-2×同时满足三个条件的
A∪B∪C=总数-三个条件都不满足的
二、解题方法
公式法、图示法
【母题训练】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？
A.28人 B .26人 C .24人 D .22人
【解析】由于参加物理的有30人，数学竞赛有32人，两科都未参加的有20人，总人数有60人，故本题考查二集合容斥原理。
根据二集合容斥原理可得：总人数-都未参加的人数=参加数学的人数+参加物理的人数-同时参加
两科的人数，则60-20=32+30-同时参加两科的人数，同时参加两科的人数=62-40=22人，故本题答案为D。
第一百零八卷：日期问题
一、星期推断型
题目特征：已知日期和星期几，推断另一个日期是星期几
解题思路：总天数/7=a……b（余数b 为几，星期加几）
二、日期推断型
题目特征：已知日期和天数，推断下一个日期
常见解题方式：总天数/30，按月份填补
三、注意事项
大月（1、3、5、7、8、10、12 月）31 天，小月（4、6、9、11 月）30 天
平年：2 月28 天，全年365 天；闰年：2 月29 天，全年366 天
闰年判断方式：能被400 整除，或能被4 整除但不能被100 整除的是闰年。
“每n 天”的周期为n 天，“每隔n 天”的周期是n+1 天
【母题训练】某年的3月有5个星期一和4个星期二，则该年的国庆节是（ ）。
A.星期二 B .星期三 C .星期四 D .星期五
【解析】由于3月有31天，31/7=4…3天，则3月一定含有4个完整的星期还多3天。由于3月有5个星期一和4个星期二，故多出的3天当中一定含有星期一，且不含有星期二，则多出的3天只能是星期六、星期天、星期一这连续的3天，即3月31日是星期一。
3月31日至10月1日共有3×30+3×31+1=183天，183÷7=26…2，即经过了26个完整的星期还多2天，经过26个完整的星期又回到了星期一，再经过2天国庆节是星期三，即10月1日是星期三，故本题答案为 B。
第一百零九卷：浓度问题
基本公式：
溶液=溶质+溶剂
浓度=$\frac{溶质}{溶液}$=$\frac{溶质}{溶液+溶剂}$
常用思路：赋值法、十字交叉法
【母题训练】
甲烧杯装有浓度为6%的酒精200 克，乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精100 克。现向两个
烧杯各加入x 克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x 的值为：
A.350 B.400 C.550 D.600
【解析】水是酒精这种溶液的溶剂，因此，根据“两个烧杯中酒精浓度相同”可知，两
份溶液分别加入x 克水后浓度相同，那么根据“浓度=溶质/溶液”可得等式：$\frac{200×6%}{200+x}$=$\frac{100×10%}{100+x}$，解得x=600。故答案为D。
第一百一十卷：鸡兔同笼问题
鸡兔同笼：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头，从下面数，有94 只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？
思路1：列方程解题
假设有a 只鸡，b 只兔子，每只鸡有2 只脚，每只兔子有4 只脚。根据“有35 个头”
可得：a+b=35 ①；根据“有94 只脚”可得2a+4b=94 ②；②-①×2 可得：4b-2b=94-35×2，可得：b=（94-35×2）/（4-2）=12。那么，a=35-12=23。
思路2：假设思维解题
1.假设这35 只都是鸡，则：兔子数量=总量差/单位差
总量差，即：实际脚的总数-假设35 只都是鸡的脚数，等于94-35×2；
单位差，即：1 只兔子的脚数-1 只鸡的脚数，等于4-2；
兔子数量=总量差/单位差=（94-35×2）/（4-2）=12，鸡的数量=35-12=23。
2.假设这35 只都是兔，则：鸡的数量=总量差/单位差
鸡的数量=总量差/单位差=（35×4-94）/（4-2）=23，兔子数量=35-23=12。
【母题训练】
某餐饮公司甲、乙两种外卖每份的售价分别为30 元和50 元，若该公司某天售出这两种外卖共500 份，销售收入为21400 元，则售出的两种外卖数量相差：
A.140 B.160 C.180 D.200
【解析】题中已知两种外卖的单价、销售总量和销售总收入，符合鸡兔同笼的模型，可用鸡兔同笼思维快速破题。
假设500 份外卖都是甲外卖，总收入为30×500=15000 元，实际收入为21400，可得：乙外卖的数量=（21400-15000）/（50-30）=6400/20=320 份，甲外卖的销量=500-320=180份，因此两种外卖相差320-180=140 份。故答案为A。
